初中九年级数学专题19 几何最值之阿氏圆(知识精讲)-冲刺2021年中考几何专项复习.docx本文件免费下载 【共5页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com几何最值之阿氏圆知识精讲在平面上,到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上,即对于平面内的定点A、B,若平面内有一动点P满足PA:PB=1,则P点轨迹为一条直线(即线段AB的垂直平分线),如果这个比例不为1,P点的轨迹又会是什么呢?两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中,便已经回答了这个问题。接下来,让我们站在巨人的肩膀上,一起探究PA:PB=k(k≠1)时P点的轨迹。对于平面内的定点A、B,若在平面内有一动点P且P满足PA:PB=k(k≠1),则动点P的轨迹就是一个圆,这个圆被称为阿波罗尼斯圆,简称“阿氏圆”,如图所示:借助画板工具我们发现,动点P在运动过程中,PA、PB的长度都在变化,但是PA:PB的比值始终保持不变,接下来我们在深入研究一下!若,设,如图所示:由图可以发现在AB上存在点C使得,在AB延长线上存在点D使得,也就是说,当点P与点C、D重合时,符合条件;当点P不与点C、D重合时,对于任意一点P,连接PA、PB、PC,可得,所以PC为△PAB一条内角平分线,再连接PD,可得,所以PD为△PAB一条外角平分线,所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comPC⊥PD,即∠CPD=90º,所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时,可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点,并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢?分别取线段AB的内外分点C、D,再取CD中点O,可得,设,则,由线段位置关系可得AC+BC+BD=AD,则,解得,.又,即,整理得,即,当点P在一个以O为圆心,r为半径的圆上运动时,如图所示:易证:△BOP△∽POA,,∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆,任意一个k的值,我们可以在任意一条直径所在直线上,在同侧适当的位置选取A、B点,则需,就可以构造出上述的A字型相似(详见本专辑的相似模型).例1、如图,正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上一动点,则的最小值为,的最大值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】最小值为5,最大值为5【解析】在BC上取一点G,使得BG=1,连接PG、DG,如图所示:∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,,∴,在△PDG中,DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,的值最小,最小值为;当点P在DG的延长线时,的值最大,如图所示:小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com此时最大值也是DG,最大值为5.例2、如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,点P为弧AB上一动点,求的最小值.【解答】【解析】当A、P、D三点共线时,的值最小.连接PB、CO,AD与CO相交于点M,如图所示:小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∵AB=BD=2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD=90º,∠BAD=∠D=45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB=90º,∴∠PAB=∠PBA=45º,∴PA=PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO=90º∵AC=PO=1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA=OP,∠CAO=90º,∴四边形AOPC是正方形,,∴PC+PD=PM+PD=DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC+PD的值最小,最小值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com

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