小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题23二次函数与等边三角形存在问题1．（2021·浙江鄞州·中考一模）如图，点A是二次函数y＝x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y＝﹣x上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（）A．（，）B．（，）C．（1，）D．（，）【答案】B【分析】连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据题意∠ABO＝60°，AO⊥BB′，即可得到tan∠ABO＝＝，设A（m，m2），通过证得△AOM∽△OBN，得到B（﹣m2，m），代入直线y＝﹣x即可得到关于m的方程，解方程即可求得A的坐标．【详解】解：连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， 点B′与点B关于原点对称，∴OB＝OB′， △ABB′为等边三角形，∴∠ABO＝60°，AO⊥BB′，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠BON+∠AOM＝90°，tan∠ABO＝=，∴＝， ∠BON+∠OBN＝90°，∴∠AOM＝∠OBN， ∠BNO＝∠AMO＝90°，∴△AOM∽△OBN，∴＝，设A（m，m2），∴OM＝m，AM＝m2，∴BN＝m，ON＝m2， 点A在第一象限内，∴B（﹣m2，m）， 点B是直线y＝﹣x上一点，∴m＝﹣•（﹣m2），解得m＝或m＝0（舍去），当m＝时，m2=∴A（，），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：B．【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(，)或(1＋，)【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图32﹣中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． 点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），∴D（2，3）， B（3，0），∴T（，），BD＝， ∠NPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，解得m＝1或2，∴P（1，1），或（2，1）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． △BMN是等边三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN， ∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ， ∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝，∴BJ＝t，TJ＝2，∴T（3＋t，2）， NM＝MT，∴M（，）， 点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，小...