小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24二次函数与相似三角形存在问题1．（2021—2022浙江省宁波市九年级开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______．【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分在轴和轴两种情况讨论，舍出的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【详解】解：过点作轴于点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在中，，，，在中，，，，，，为直角三角形．①利用的三边，，又，故当是原点时，；②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，解得：，故是时，则一定成立；④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当与是对应边时，，即，解得：，此时，两个三角形不相似；⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当与是对应边时，，即，解得：，符合条件．总之，符合条件的点的坐标为：或或．故答案为：或或．【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2．（2021·云南腾冲·中考一模）如图，抛物线经过点和点，与交于点，顶点为，连接、，与抛物线的对称轴交于点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点的坐标；（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）点P的坐标为(2，)；（3）点M的坐标为(1，)或(1，)或(1，)．【分析】（1）利用待定系数法，即可得结论；（2）先求得直线BC的解析式为，过点P作PF⊥轴交BC于点F，设P(m，)，则F(m，)，再求得面积的最大值，即可求解；（3）分△ENM△OBC，△NEM△OBC，△MEN△OBC三种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质以及抛物线上的点的特征求解即可．【详解】（1）将点A(−2，0)和点B(4，0)代入y=−+bx+c得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为；（2）令，则，∴C(0，4)，∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设直线BC的解析式为，∴，解得，∴直线BC的解析式为，过点P作PF⊥轴交BC于点F， 点P是第一象限抛物线上的动点，∴设P(m，)，则F(m，)，且m>0，∴， ，∴当时，有最大值，最大值为，此时四边形OBPC面积取得最大值，P(2，)，∴点P的坐标为(2，)；（3） 抛物线的函数表达式为，∴对称轴为，∴E(1，3)， B(4，0)，C(0，4)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴OB=4，OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形；①当△ENM△OBC时，∠MEN=∠COB=90°，EM=EN，∴=3， 点N在抛物线上，∴，解得：或(不合题意，舍去)，∴EN=，∴EM=EN，∴点M的坐标为(1，)；②当△NEM△OBC时，∠ENM=∠COB=90°，MN=EN，如图，过点N作NH⊥ME于点H，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由等腰直角三角形的性质知：HN=HE=HM，设点N的坐标为(...