小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题29二次函数与矩形存在问题1．（2021·重庆八中·中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(3，0)，B(1﹣，0)两点，于y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．（1）求抛物线解析式；（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．（3）在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平移后的新抛物线对称轴上找一个点M，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形，请直接写出N点坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2），；（3）或【分析】（1）先确定点C的坐标，利用待定系数法可求函数的解析式；（2）利用转化的思想，将四边形DPAE的面积用三角形APE的面积表示，设出点P的坐标，用m的代数式表示三角形APE的面积，利用二次函数的性质可得面积的最大值，并得到m的取值，P点坐标可得；（3）首先求出平移后的抛物线的解析式，得到抛物线的对称轴为直线x＝3；然后分类讨论解答：①当四边形DPNM为矩形时，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，则DK，KP可求，利用△DKP≌△MHN求得NH，MH的长；通过求得DM的解析式，得到线段MG，HG的长度，从而点N的坐标可求；②当四边形DPNM为矩形时，同①的方法可得N点坐标．【详解】解：（1） 点A（3，0），B（﹣1，0），∴OA＝3，OB＝1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OC＝3OB，∴OC＝3．∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：．解得：．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2） y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x1﹣）2+4，∴D（1，4）．过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图， DE∥PF，∴S△DPF＝S△EPF．∴S四边形DPAF＝S△APF+S△DPF＝S△APF+S△EPF＝S△APE．设点P（m，﹣m2+2m+3），则ON＝m，PN＝﹣m2+2m+3．设直线AC的解析式为y＝kx+n，∴．解得：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3．设直线OD的解析式为：y＝dx，∴d＝4．∴直线OD的解析式为：y＝4x．∴．解得：．∴E（，）．∴OM＝，ME＝．∴MN＝m﹣，NA＝3﹣m． S△APE＝S四边形EMNP+S△ANP﹣S△AME，∴S△APE＝＝﹣＝﹣＝． ，∴当m＝时，S△APE有最大值．∴四边形DPAF面积的最大值为．此时点P的坐标为：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3） y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x1﹣）2+4，∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x3﹣）2+4，对称轴为x＝3．①当四边形DPNM为矩形时，如图，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．结合矩形的性质可得：△DKP≌△MHN．∴NH＝KP＝，MH＝＝DK＝．设DP的解析式为y＝ex+f，∴．解得：．∴y＝﹣x+．∴设直线DM的解析式为y＝2x+n，∴4＝1×2+n．∴n＝2．∴直线DM的解析式为y＝2x+2．当x＝3时，y＝2×3+2＝8．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴MG＝8，∴HG＝MG﹣MH＝．∴N（）．②当四边形DPNM为矩形时，如图，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H，则DK＝DE﹣PF＝4﹣＝，KP＝OF﹣OE＝﹣1＝．同理可得：△DKP≌△MHN．∴NH＝KP＝，MH＝DK＝．设DP的解析式为y＝ex+f，∴．解得：．∴y＝．∴设直线PM的解析式为y＝2x+h，∴．∴h＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴直线PM的解析式为y＝2x+．∴当x＝3...