小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题32二次函数与旋转问题1．（2021—2022辽宁千山九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和，交y轴于点，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，N的横坐标为，，，2．【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；（2）先取OE的三等分点D，得出DE'=AE'，当B，E'，D三点共线时即为最小值；（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．【详解】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com得：，∴b=-2，c=3，∴y=-x2-2x+3，（2）在OE上取一点D，使得OD=OE，连接DE'，BD， OD＝OE＝OE′，对称轴x=-1，∴E（-1，0），OE=1，∴OE'=OE=1，OA=3，∴，又 ∠DOE'=∠E'OA，△DOE'∽△E'OA，∴DE′＝AE′，∴BE′+AE′＝BE′+DE′，当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BE′+AE′的最小值为；（3）存在， A（-3，0），B（0，3），设N（n，-n2-2n+3），则AB2=18，AN2=（n2+2n-3）2+（n+3）2，BN2=n2+（n2+2n）2， 以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2=AN2+BN2，即18=（n2+2n-3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：，∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2=AB2+BN2，即（n2+2n-3）2+（n+3）2=18+n2+（n2+2n）2，解得n=0（与点B重合，舍去）或n=-1，∴N的横坐标是-1，若BN是斜边，则BN2=AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2=18+（n2+2n-3）2+（n+3）2，解得n=-3（与点B重合，舍去）或n=2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，-1，2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质．2．（2021—2022辽宁连山九年级期中）如图，在半面直角坐标系中，抛物线与x轴交于小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com点A、B，其中点A的坐标为，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上上方的一个动点，过点D作轴，交于点E，过D作，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求l的最大值；（3）点P是x轴上一动点，将线段绕点P旋转得到，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）l的最大值为12；（3），，，【分析】（1）将代入求解即可得出答案；（2）由待定系数法求出直线解析式，设点D的横坐标为t，即可表示出D、E、F三点坐标，即可表示出矩形长宽，可表示矩形周长，即可求出最值；（3）分两种情况：当逆时针旋转落在抛物线上和顺时针旋转落在抛物线上，求出点所在直线，与二次函数联立即可求出的坐标．【详解】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）将代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线解析式为，将代入得：，∴直线解析式为，设点D的横坐标为t，则有，， ，∴轴，∴轴，∴D，F的纵坐标相同，∴，∴，，∴矩形的周长为，∴当时，l的最大值为12；（3）当逆时针旋转落在抛物线上时，如下图：小学、初...