初中九年级数学2022年中考数学几何模型之动点最值之阿氏圆模型(讲+练)(解析版).docx本文件免费下载 【共16页】

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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题15动点最值之阿氏圆模型背景故事:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.ABPO模型建立:当点P在一个以O为圆心,r为半径的圆上运动时,如图所示:易证:△BOP∽△POA,,∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆,任意一个k的值,我们可以在任意一条直径所在直线上,在同侧适当的位置选取A、B点,则需【技巧总结】计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得的值最小,解决步骤具体如下:①如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB②计算出这两条线段的长度比小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com③在OB上取一点C,使得,即构造△POMBOP△∽,则,④则,当A、P、C三点共线时可得最小值例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为()A.7B.5C.D.【答案】B【详解】如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM. PC=3,CM=1,CA=9,∴PC2=CM•CA,∴, ∠PCM=∠ACP,∴△PCM△∽ACP,∴,∴PMPA,∴AP+BP=PM+PB, PM+PB≥BM,在Rt△BCM中, ∠BCM=90°,CM=1,BC=7,∴BM5,∴AP+BP≥5,∴AP+BP的最小值为5.故选:B.例2.在中,AB=9,BC=8,∠ABC=60°,⊙A的半径为6,P是上一动点,连接PB,PC,则的最小值_____________的最小值_______【答案】【详解】①连接AP,在AB上取点Q,使AQ=4,连接CQ,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ⊙A的半径为6,即AP=6,∴,又,且,∴,∴,∴,∴,当三点共线时,的值最小,最小值为的长,过C作CI⊥AB于I,∴,在Rt△CIB中, ,BC=8,,∴,∴,,在Rt△CIQ中,,∴的最小值为;故答案为:;②连接AP,由①得:在Rt△CIA中,,在AC上取点G,使AG=,连接PG,BG,∴, ,∴,且,∴,∴,∴,∴,当三点共线时,的值最小,最小值为的长,过G作GH⊥AB于H,∴,在Rt△CIA中,,在Rt△GAH中,,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴,∴,,在Rt△GHB中,,∴的最小值为.故答案为:.例题3.如图,已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,则的最大值为_______.ABCDP【解析】当P点运动到BC边上时,此时PC=3,根据题意要求构造,在BC上取M使得此时PM=,则在点P运动的任意时刻,均有PM=,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,对于△PDM,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值.ABCDPMMPDCBAABCDPMMPDCBA【变式训练1】如图,已知菱形的边长为4,,的半径为2,P为上小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com一动点,则的最小值_______.的最小值_______【答案】【详解】①如图,在BC上取一点G,使得BG=1,连接PB、PG、GD,作DF⊥BC交BC延长线于F. ,,∴, ,∴,∴,∴,∴, ,∴当D、P、G共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG,在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,∴DF=CD•sin60°=2,CF=2,在Rt△GDF中,DG,故答案为:;②如图,连接BD,在BD上取一点M,使得BM=,连接PB、PM、MC,过M作MN⊥BC于N.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 四边形ABCD是菱形,且,∴AC⊥BD,∠AOB=90,∠ABO=∠CBO=∠ABC=30,∴AO=AB=2,BO=,∴BD=2BO...

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