初中九年级上册数学24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)(人教版).docx本文件免费下载 【共25页】

初中九年级上册数学24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)(人教版).docx
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小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24.3垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)【学习目标】1.理解圆的对称性;2.掌握垂径定理及其推论;3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.特别说明:(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.特别说明:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1.如图,是的直径,弦于点,点在上,恰好经过圆心,连接.(1)若,,求的直径;(2)若,求的度数.【答案】(1)20;(2)30°【分析】(1)由CD=16,BE=4,根据垂径定理得出CE=DE=8,设⊙O的半径为r,则,根据勾股定理即可求得结果;(2)由OM=OB得到∠B=∠M,根据三角形外角性质得∠DOB=∠B+∠M=2∠B,则2∠B+∠D=90°,加上∠B=∠D,所以2∠D+∠D=90°,然后解方程即可得∠D的度数.解:(1) AB⊥CD,CD=16,∴CE=DE=8,设,又 BE=4,∴∴,解得:,∴⊙O的直径是20.(2) OM=OB,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠B=∠M,∴∠DOB=∠B+∠M=2∠B, ∠DOB+∠D=90°,∴2∠B+∠D=90°, ,∴∠B=∠D,∴2∠D+∠D=90°,∴∠D=30°;【点拨】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.举一反三:【变式1】如图,在半径为的中,弦长.求:(1)的度数;(2)点O到的距离.【答案】(1)60°;(2)25mm【分析】(1)证明是等边三角形,从而可得结论;(2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,利用垂径定理求解再利用勾股定理可得答案.解:(1) OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB=50mm,又 AB=50mm,∴OA=OB=AB,∴△AOB是等边三角形,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠AOB=60°.(2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,如图所示,由垂径定理得AC=CB=AB=25mm,在Rt△OAC中OC2=OA2-AC2=502-252=252×3,∴OC==25(mm),即点O到AB的距离是25mm.【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质,圆的性质,垂径定理的应用,勾股定理的应用,熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图,是的直径,E为上一点,于点F,连接,,于点D.若,求线段长.【答案】6【分析】设OE=x,根据勾股定理求出x,根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3,根据垂径定理得到答案.解:设OE=x,则OF=x-2,由勾股定理得,OE2=OF2+EF2,即x2=(x-2)2+42,解得,x=5,∴OF=3, AC∥OE,OD⊥AC,∴OD⊥OE,∠A=∠EOF,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com OA=OE,EF⊥AB,∴△ADO△≌OFE,∴AD=OF=3, OD⊥AC,∴AC=2AD=6.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用,掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.类型二...

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