小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com14.2勾股定理的应用一、求解证明线段平方之间的关系a、构造于不同的直角三角形中分别利用勾股定理，然后利用等式性质相加或相减1已知，如图△ABC中，∠C=90°，M为BC中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．证明：连接MA， MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2， ∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2．2、如图，DEm，BCn，EBC与DCB互余，求BD2CE2的值．解：延长BE、CD交于点A. EBC与DCB互余，∴∠A=90°，∴BD2=AD2+AB2小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comCE2=AE2+AC2BD2+CE2=m2+n2.b、通过对称、平移、旋转变换将线段构造于同一个直角三角形中利用勾股定理1、已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解答：（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，（或将△FBD旋转180°）连接EM． AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B． AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．（2）证法同一（3）2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（4）（1）证明： AB=AC，∴∠B=∠C． AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．即得∠AMB=∠ANC．（5）在△ABM和△CAN中，∴△ABM≌△CAN（AAS）．（6）∴BM=CN．（7）另证：过点A作AD⊥BC，垂足为点D． AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．同理，证得MD=ND．（8）∴BD-MD=CD-ND．即得BM=CN．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（9）（2）MN2=BM2+NC2成立．证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN． AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°． CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．（10）在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．（11） ∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．（12）在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．（13）在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．即得MN2=BM2+NC2．（14）另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E．于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠EAN．二、利用勾股定理求线段、角（含折叠问题）1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数。小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC与△BEC全等∴△PCE为等腰Rt△∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又 PB2=1，BE2=9∴PE2+PB2=BE2，则∠BPE=90°∴∠BPC=135°。2、2、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长．3、小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解：如图， AC平分∠BAD，∴把△ADC沿AC翻折得△AEC，∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB于点F．∴EF=FB=21BE=21(AB-AE)=6．在Rt△BFC(或Rt△EFC)中...