小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．(2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝2x；(3)x2＋1＝x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；(5)ax2＋c＝0(a≠0)．分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4. Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)将方程转化为一般形式为3x2－2x＋2＝0.a＝3，b＝－2，c＝2. Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)将方程转化为一般形式为x2－x＋1＝0.方程两边同乘以2，得x2－x＋2＝0，a＝，b＝－，c＝2. Δ＝b2－4ac＝(－)2－4××2＝2－8＜0，∴原方程没有实数根．(4)ax2＋bx＝0(a≠0)， a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝b2－4·a·0＝b2.又 b取任何实数，b2均为非负数，∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．(5)ax2＋c＝0(a≠0)， a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac＝－4ac.当c＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；当a与c异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；当a与c同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．2．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，这时韦达定理应是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.【例2】不解方程，说明一元二次方程2x2＋4x＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．分析：因为方程2x2＋4x＝1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．解：把方程2x2＋4x＝1转化成一般形式为2x2＋4x－1＝0.(1) Δ＝b2－4ac＝42－4×2×(－1)＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)设该方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－＝－＝－2，x1·x2＝＝＝－.点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a，b，c.3．利用根的判别式确定方程中字母...